謀殺

從 1960 年代開始，美國的謀殺犯罪率便節節升高。到了 1980 年代與 1990 年代初的高峰期時，美國的謀殺犯罪率大約是其他已開發國家的 10 倍。當時每 10 萬個美國人當中，每年約有 10 人左右遭到殺害。如果你對這個數字沒什麼感覺，不妨將其想像成臺灣的情境。如果臺灣的謀殺犯罪率也跟美國一樣高，則每年約有 2300 人左右遭到殺害。平均下來，每天當你打開電視機時，都會看到 6 起兇殺案件。


當然，美國的謀殺犯罪也不是在每個地方都那麼嚴重。如果我們將每個郡的謀殺犯罪率畫在地圖上，便可輕易發現美國南方的謀殺事件特別猖獗。除此之外，每個郡的謀殺犯罪皆率與其周遭的郡相似。換言之，謀殺犯罪率高的郡，其周遭地區的謀殺犯罪率也較高；謀殺犯罪率低的郡，其周遭地區的謀殺犯罪率也較低。我們要如何來理解這種地理群聚現象呢？

(雖然我已經寫得很淺顯，不過對數學有暈眩、嘔吐症狀的人，還是可以逕行跳過綠字的段落。)

郡 i 與郡 j 代表任何互相鄰近的地區，y 則代表地區的某種特性，例如：謀殺犯罪率。當我們發現每個郡的謀殺犯罪率皆與其周遭的郡相似時，表示 yi 與 yj 相似。(數學的表達方式為：Cov [yi,yj] ≠0)。有三種情況，都會造成 yi 與 yj 相似。

首先，y 是由一組變數 X 決定，加上一個隨機的誤差 ε。 由於 Xi 與 Xj 相似，導致 yi 與 yj 相似。這種情況，我們稱為結構相似 (structural similarity)。例如，謀殺犯罪率與貧窮程度有關。而每個郡的貧窮程度皆與其周遭的郡相似，導致每個郡的謀殺犯罪率也與其周遭的郡相似。在這種情況下，我們只要找出適當的 X，便可解釋謀殺犯罪率的地理群聚現象。

第二種情況，原本應該隨機的誤差 ε，具有空間自相關。亦即， εi 與 εj 相似，導致 yi 與 yj 相似。這種情況，我們稱為空間誤差效應 (spatial error effect)，也稱為空間干擾 (spatial disturbance)。為什麼會有空間干擾呢？這可能是因為在決定因素 X 之中，仍有遺漏的變數。也可能是因為分析的空間單元不適當。例如，假設謀殺現象的空間尺度大於郡，我們卻以郡做為分析單元，自然會看到鄰近的郡彼此相似。空間干擾本身不具實質意義，但對於迴歸分析構成重大衝擊。當空間干擾發生時，常用的最小平方法將得到不有效 (inefficient) 的估計。我們得利用其他方法克服。

第三種情況，鄰近地區的 y 本身互相影響。這可能是因為擴散，或者外溢。我前面有好幾篇文章，都在談這種效應。其正式名稱為空間延遲效應 (spatial lag effect)。為什麼叫做空間延遲呢？這是從時間序列衍生出來的概念。在時間序列分析裡，前一期對後一期的影響，稱為延遲效應。在空間分析裡，鄰近地區對本地區的影響，就稱為空間延遲效應。不過，空間延遲比時間延遲更複雜。時間是一維的、單向的，空間則是二維的、多向的。因此空間延遲會產生內生性問題，常用的最小平方法將得到偏誤 (biased) 與不一致 (inconsistence) 的估計。同樣的，我們得利用其他方法克服。

Baller、Anselin、Messner、Deaner、Hawkins 等人，利用上述的架構來探討美國 1960~1990 年謀殺犯罪的地理群聚現象。研究團隊中， Anselin 堪稱是當今空間經濟計量 (spatial econometrics) 學界的第一號人物。我個人的研究工具箱裡，有很大一部份就是從 Anselin 那裡學來。

他們先考慮決定美國謀殺犯罪的結構因素 (X)。許多相關研究顯示，黑人比例、家庭所得中位數、家庭所得吉尼係數、貧窮家庭比例、單親媽媽比例等，皆與謀殺犯罪率有關。然而，這些變數彼此之間也高度相關，將產生多元共線性問題。因此他們從這些變數中萃取出第一主成分，稱為資源剝奪指標。再者，他們從人口與人口密度中萃取出第一主成分，稱為人口結構指標。其他的結構因素則是：年齡中位數、離婚率、失業率。

由於美國南方與其他地方具有異質性，因此他們將美國拆成兩個部分來分析。在美國南方，資源剝奪指標、離婚率皆與謀殺犯罪率成正相關。但與一般人直覺不同的是，失業率與謀殺犯罪率成負相關。此外，美國南方具有空間延遲效應，顯示謀殺是會擴散的。只不過，擴散的效應從 1960 年至 1990 年不斷地縮小。

在美國南方以外的地方，資源剝奪指標、人口結構指標、離婚率皆與謀殺犯罪率成正相關；年齡中位數與謀殺犯罪率成負相關；失業率則大部分時間都不顯著。此外，美國南方以外的地方只有在 1960 年具有空間延遲效應，1970~1990 年則具有空間誤差效應。這顯示謀殺的擴散在美國南方以外的地方並不明顯。


延伸閱讀：
Baller, Robert D., Luc Anselin, Steven F. Messner, Glenn Deane, Darnell F. Hawkins (2001) Structural covariates of U.S. county homicide rates: incorporating spatial effects. Criminology, 39(3), 561-590.